Números binários e o sistema posicional

Existe uma antiga piada que circula entre os profissionais da computação que diz; “Existem 10 tipos de pessoas no mundo, aquelas que entendem e aquelas que não entendem números binários”.

Ora bolas, para quem está acostumado com a base decimal (dez dígitos, de 0 a 9), tal afirmação soa contraditória.

O humor se explica pelo fato dos dígitos “10” representarem o número 2 na base binária. Neste contexto, a expressão faz sentindo.

Estamos tão acostumados com números na “base 10”, que passa desapercebido o fato de que números podem ser representados de maneiras diferentes. Os Babilônicos usavam base 60, os Maias, base 20, computadores, base 2 (binária), 8 (octal) e 16 (hexadecimal).

O que todas estas bases tem em comum é o sistema “posicional”, que por exemplo, não está presente nos algarismos romanos.

Comparando o número 56 escrito em quatro bases diferentes:

Decimal 56: 5*101+6*100 = 56

Binário 111000: 1*25+1*24+1*23+0*22+0*21+0*20=56

Octal 70: 7*81+0*80=56

Hexadecimal 0x38: 3*161+8*160=56

Com a representação em algarismos romanos:

LVI 56: 50(L)+5(V)+1(I)=56

Notamos que no sistema posicional, o valor de um dígito qualquer é inferido multiplicando-o pela base elevada à posição, e que a posição é contada da direita para a esquerda, começando do zero.

Para a expressão “56”, na base 10, multiplicamos o dígito 5 por 10 elevado à potência 1, multiplicamos o dígito 6 por 10 elevado a potência 0, finalmente somando o resultado das duas expressões.

Cabe notar que o sistema posicional funciona baseado no axioma que qualquer número elevado à potência 0 é igual a 1.


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